1992 年考研数学（三） 第 10 题

判断 $S$ 的性质 → 用 $D(S)=E(S^2)-[E(S){]}^2\ge 0$ 反证 $E(S)\ne \sigma$（否则方差为 0）。坑：无偏性对 $S^2$ 成立但对 $S$ 不成立；一致性不依赖分布，故选一致估计。

本题考查估计量的性质（无偏性、一致性、独立性）。 已知样本方差 $S^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，即 $E(S^2)={\sigma }^2$。

(A) 若 $E(S)=\sigma$，则 $D(S)=E(S^2)-[E(S){]}^2={\sigma }^2-{\sigma }^2=0$，与 $S$ 是随机变量矛盾，故 $E(S)\ne \sigma$，$S$ 不是 $\sigma$ 的无偏估计。

(B)、(D) 因总体分布未知：最大似然估计依赖具体分布、$S$ 与 $\bar{X}$ 独立只在正态总体下成立，均不一定对。而由 $S^2\stackrel{P}{\to }{\sigma }^2$ 及连续函数保持依概率收敛，$S\stackrel{P}{\to }\sigma$，即 $S$ 是 $\sigma$ 的一致估计量，选 C。