1991 年考研数学（三） 第 21 题

圆域上二维均匀分布 → 对称性直接给 $\rho =0$（不相关），但 $f\ne f_X{f}_Y$ 故不独立。坑：$\rho =0$ 不能推出独立。

本题考查二维均匀分布的相关系数与「不相关 $\ne$ 独立」。 联合密度 $f(x,y)=\frac{1}{\pi r^2}(x^2+y^2\le r^2)$，其余为 $0$。

边缘密度 $f_X(x)={\int }_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\frac{1}{\pi r^2}\mathrm{d}y=\frac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2}(|x|<r)$，为偶函数，故 $E(X)=0$；同理 $E(Y)=0$。

(1) $E(XY)={\iint }_{x^2+y^2\le r^2}xyf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$（被积函数关于 $x$ 为奇函数，区域对称）。故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，相关系数 $\rho =0$。

(2) 由于 $f_X(x)f_Y(y)=\frac{4\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{r^2-y^2}}{{\pi }^2{r}^4}\ne f(x,y)$，所以 $X,Y$ 不独立。这是「不相关但不独立」的经典例子。