1991 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 5 分

一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等，以

X

表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求

X

的概率分布.

提示 1

X

取

0, 1, 2, 3

；每灯红、绿各

\frac{1}{2}

且独立。

提示 2

X = k (k \leq 2)

= 前

k

个绿、第

k + 1

个红，概率

(1/2)^{k + 1}

。

提示 3

X = 3

= 三个都绿（无第 4 个路口），概率

(1/2)^{3} = 1/8

，别再乘一次。

答案与详解

答案 $X \sim (0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{4} 2 \frac{1}{8} 3 \frac{1}{8})$

思路（为什么这么做）

「首次遇红前通过路口数」→ 前面全绿、当前红的独立事件乘积；注意最大值

X = 3

（全绿）只乘三次。坑：

P {X = 3} = 1/8

而非

1/16

。

解答

本题考查离散型随机变量的分布律（独立试验直到首次遇红灯的截断几何型）。 每个信号灯为红、绿的概率各为

\frac{1}{2}

且相互独立。

X

的可能取值为

0, 1, 2, 3

。

P {X = 0} = P (第 1 个红) = \frac{1}{2}

；

P {X = 1} = P (绿、红) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

；

P {X = 2} = P (绿、绿、红) = (\frac{1}{2})^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

。

P {X = 3} = P (三个都绿) = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

（已通过全部三个路口，不再有第 4 个）。故

X \sim (0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{4} 2 \frac{1}{8} 3 \frac{1}{8})

，概率之和为

1

。

1991 年考研数学（三） 第 20 题