1991 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 5 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; λ) = {λa x^{a - 1} e^{- λ x^{a}}, 0, x > 0, x \leq 0,

其中

λ > 0

是未知参数，

a > 0

是已知常数，试根据来自总体

X

的简单随机样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

，求

λ

的最大似然估计量

\hat{λ}

提示 1

写似然

L (λ) = \prod f (x_{i}; λ)

，合并

λ, a

的幂与指数。

提示 2

取对数得

ln L = n ln λ + \dots - λ \sum x_{i}^{a}

。

提示 3

对

λ

求导令 0：

\frac{n}{λ} = \sum x_{i}^{a}

。

答案与详解

答案 $\hat{λ} = \frac{n}{X _{1}^{a} + X _{2}^{a} + \dots + X _{n}^{a}}$

思路（为什么这么做）

求

λ

的最大似然估计 → 写

ln L

，只对未知的

λ

求导令 0（

a

已知当常数）。坑：

\hat{λ} = n / \sum X_{i}^{a}

，分母是

X_{i}^{a}

之和不是

X_{i}

之和。

解答

本题考查最大似然估计。 对样本值

x_{i} > 0

，似然函数

L (λ) = i = 1 \prod n λa x_{i}^{a - 1} e^{- λ x_{i}^{a}} = λ^{n} a^{n} (x_{1} x_{2} \dots x_{n})^{a - 1} e^{- λ \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{a}}

。

取对数

ln L (λ) = n ln λ + n ln a + (a - 1) ln (x_{1} x_{2} \dots x_{n}) - λ \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{a}

。

令

\frac{d ln L}{d λ} = \frac{n}{λ} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{a} = 0

，解得

\hat{λ} = \frac{n}{\sum _{i = 1}^{n} x _{i}^{a}}

，即最大似然估计量

\hat{λ} = \frac{n}{X _{1}^{a} + X _{2}^{a} + \dots + X _{n}^{a}}

。

1991 年考研数学（三） 第 22 题