1988 年考研数学（三） 第 5 题

"两极限存在 ⇒ 另一因子极限存在"要警惕分母趋 $0$ → 举 $f\to 0$ 的反例即可否定。坑：$\sin \frac{1}{x}$ 是经典的"极限不存在"构件。

本题考查极限存在性的判断（举反例）。 命题错误。当 $\lim f(x)=0$ 时，不能由乘积的极限反推 $\lim g$ 存在。

反例：取 $x_0=0$，$f(x)=x,g(x)=\sin \frac{1}{x}$。则 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$、$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$ 都存在，但 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$ 不存在。故应打 ×（错误）。