1988 年考研数学（三） 第 23 题

求单调函数 $Y=g(X)$ 的密度 → 分布函数法（或公式法 $f_Y(y)=f_X(x)\left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|$）。坑：务必先定 $Y$ 的取值范围 $({\mathrm{e}}^2,{\mathrm{e}}^4)$，范围外密度为 $0$。

本题考查一维随机变量函数的分布（分布函数法）。 $X\sim U(1,2)$，密度 $f_X(x)=1(1<x<2)$，其余为 $0$。

$Y={\mathrm{e}}^{2X}$ 在 $X\in (1,2)$ 上单调增，取值范围 ${\mathrm{e}}^2<Y<{\mathrm{e}}^4$。用分布函数：当 ${\mathrm{e}}^2\le y<{\mathrm{e}}^4$ 时，$F_Y(y)=P\{{\mathrm{e}}^{2X}\le y\}=P\left\{X\le \frac{1}{2}\ln y\right\}={\int }_1^{\frac{1}{2}\ln y}1\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln y-1$。

对 $F_Y(y)$ 求导得密度：$f(y)=F_Y^{\prime }(y)=\frac{1}{2y}({\mathrm{e}}^2<y<{\mathrm{e}}^4)$，其余为 $0$。