1988 年考研数学（三） 第 1 题

变上限积分定义的函数研究性态 → 先 $f^{\prime }=$ 被积函数（N-L 求导），再用 $f^{\prime },f^{\prime \prime }$ 判单调/凹凸/拐点，渐近线算 $x\to \pm \infty$ 的极限。坑：奇偶性用换元证；水平渐近线需会高斯积分 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2/2}\mathrm{d}t=\sqrt{\pi /2}$。

本题考查变上限积分函数的性态分析（变上限求导、单调、奇偶、拐点、凹凸、水平渐近线）。 第一步用牛顿-莱布尼茨求导得 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x^2/2}$。

(1)(2)：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x^2/2}>0$，故 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调增。(3)：令 $t=-u$，$f(-x)={\int }_0^{-x}{\mathrm{e}}^{-t^2/2}\mathrm{d}t=-{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-u^2/2}\mathrm{d}u=-f(x)$，为奇函数。

(4)(5)：$f^{\prime \prime }(x)=-x{\mathrm{e}}^{-x^2/2}$，令 $f^{\prime \prime }=0$ 得 $x=0$。当 $x<0$ 时 $f^{\prime \prime }>0$（凹），$x>0$ 时 $f^{\prime \prime }<0$（凸），符号改变，故拐点为 $(0,0)$，凹区间 $(-\infty ,0)$、凸区间 $(0,+\infty )$。

(6)：$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2/2}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$（高斯积分），得水平渐近线 $y=\sqrt{\pi /2}$；再由奇函数性质，另一条为 $y=-\sqrt{\pi /2}$。