1987 年考研数学（三） 第 8 题

见 ${\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x{)}^p}$ → 换元 $u=\ln x$ 变成 $p$-积分，$p>1$ 才收敛。坑：$\frac{1}{x\ln x}$（$p=1$）发散，务必和 $\frac{1}{x(\ln x{)}^2}$（$p=2$，收敛）区分开。

本题考查 ${\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x{)}^p}$ 型反常积分的收敛性。 统一令 $u=\ln x$，则 $\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$，四个积分都化为 ${\int }_1^{+\infty }{u}^k\mathrm{d}u$ 型，用 $p$-积分判别。

C 收敛：${\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x{)}^2}={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{u^2}=[-\frac{1}{u}{]}_1^{+\infty }=1$（$p=2>1$，收敛）。

其余均发散：
A $=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_{\mathrm{e}}^{+\infty }=+\infty$；
B $=\ln (\ln x){|}_{\mathrm{e}}^{+\infty }=+\infty$（$p=1$）；
D $=2\sqrt{\ln x}{|}_{\mathrm{e}}^{+\infty }=+\infty$（$p=\frac{1}{2}<1$）。
故选 C。