1987 年考研数学（三） 第 7 题

用拉格朗日中值定理前先核对区间：闭区间须落在可导范围内。坑：只说「开区间内可导」时，不能把结论用到含端点 $a,b$ 的区间上，必须取内部子区间 $[x_1,x_2]$。

本题考查拉格朗日中值定理的使用前提。 定理要求在闭区间上连续、开区间内可导。而本题只知 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导，端点 $a,b$ 处的连续性没有保证。

要套中值定理，所取闭区间必须整个落在 $(a,b)$ 内部。因 $[x_1,x_2]\subset (a,b)$，$f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续、在 $(x_1,x_2)$ 内可导，故存在 $\xi \in (x_1,x_2)$ 使 $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)$。这正是 C。

排除 A、B、D：它们都用到端点 $a$ 或 $b$，而 $f$ 在 $[a,\cdot ]$ 或 $[\cdot ,b]$ 上是否连续未知，定理条件不满足，故不一定成立。选 C。