1987 年考研数学（三） 第 6 题

判分段/含 $\ln$ 的函数连续性 → 先定定义域，再在分界点比左右极限与函数值。坑：$\ln x+\sin x$ 定义域本就不含 $0$，无需在 $0$ 处纠结；分段函数才要查 $x=0$。

本题考查连续性判断，尤其是「在其定义域内连续」这一措辞。 关键：A 的定义域不含 $x=0$，而 B、C、D 都需要在分界点 $x=0$ 处验证连续性。

A 正确：$\ln x$ 的定义域为 $x>0$，故 $f(x)=\ln x+\sin x$ 的定义域是 $(0,+\infty )$；在该区间上 $\ln x$、$\sin x$ 均连续，其和也连续。

逐一排除：
B：$f(0^{-})=\sin 0=0\ne f(0^{+})=\cos 0=1$，在 $x=0$ 处不连续；
C：$f(0^{-})=1\ne f(0^{+})=-1$（且 $f(0)=0$），在 $x=0$ 处不连续；
D：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{|x|}}=+\infty \ne f(0)=0$，在 $x=0$ 处不连续。
故选 A。