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1987 年考研数学（三） 第 4 题
选择题 · 2 分
判断下列命题是否正确：
设 是矩阵 的 阶非零子式，且含 的一切 阶子式均为 ，则矩阵 的一切 阶子式均为 。
设 是矩阵 的 阶非零子式，且含 的一切 阶子式均为 ，则矩阵 的一切 阶子式均为 。
- A正确（√）
- B错误（×）
提示 1
回忆秩的定义： 等于 的最高阶非零子式的阶数。提示 2
「存在 阶非零子式 ，且所有含 的 阶子式为 」正好推出 （镶边法定理）。提示 3
秩为 时，所有 阶子式（无论是否含 ）都为 。答案与详解
答案 A
思路（为什么这么做）
看到「非零 阶子式 + 其加边的 阶子式全为 」→ 直接判 （镶边判秩定理）。坑：不必逐一验证所有 阶子式，加边子式全零已足以锁定秩。
解答
本题考查矩阵秩与子式的关系（子式判秩法的核心结论）。 关键定理：若 有一个 阶非零子式 ，而所有"包含 "的 阶子式都为零，则 的秩恰为 。
由该定理，。而秩为 意味着 的所有 阶子式（不论是否包含 ）都等于 ——因为秩等于最高阶非零子式的阶数， 的子式必全为零。
故命题正确，选 A。这正是"用一个非零子式加边（镶边）判秩"方法的理论依据。
由该定理，。而秩为 意味着 的所有 阶子式（不论是否包含 ）都等于 ——因为秩等于最高阶非零子式的阶数， 的子式必全为零。
故命题正确，选 A。这正是"用一个非零子式加边（镶边）判秩"方法的理论依据。