1987 年考研数学（三） 第 3 题

「两发散级数之和」结论不确定 → 找反例：让发散主项相消。坑：只有『收敛±收敛=收敛』成立；『发散+发散』既可发散也可收敛，不能想当然。

本题考查级数收敛性的四则运算——两个发散级数之和未必发散。 收敛级数的和差仍收敛，但发散级数没有这条规律，举反例即可推翻命题。

取 $a_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n},b_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}$。由于 $\sum \frac{1}{n}$ 发散、$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 都发散。

但 $a_n+b_n=\frac{2}{n^2}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{n^2}$ 收敛。故「两发散级数之和必发散」为假命题，选 B。