2025 年考研数学（二） 第 19 题

「已知全微分求原函数」就是可积性的逆运算：先对 $x$ 积分得 $-x^2{e}^{-y}+\phi (y)$，再用 ${\partial }_{y}f$ 定出 $\phi$（这里 ${\phi }^{\prime }=-(y+1)e^{-y}$，分部积分得 $(y+2)e^{-y}$）。求极值走标准流程：驻点方程 $f_x=0$ 给 $x=0$，代入 $f_y=0$ 给 $y=-1$；因 $e^{-y}>0$，判别式 $AC-B^2$ 的符号只由括号项决定，$A<0$ 即极大。

本题考查由全微分求原函数、以及二元函数极值。 由 $df$ 读出两个偏导，积分（并用 $f(0,0)=2$）定出 $f$，再用极值充分条件求极值。

由 $df=-2x{e}^{-y}dx+e^{-y}(x^2-y-1)dy$ 得 $\frac{\partial f}{\partial x}=-2x{e}^{-y}$，$\frac{\partial f}{\partial y}=e^{-y}(x^2-y-1)$。
对 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 关于 $x$ 积分：$f(x,y)=-x^2{e}^{-y}+\phi (y)$。

关于 $y$ 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2{e}^{-y}+{\phi }^{\prime }(y)$，与 $e^{-y}(x^2-y-1)$ 比较得 ${\phi }^{\prime }(y)=-e^{-y}(y+1)$。积分
$$\phi (y)=\int -(y+1)e^{-y}dy=(y+1)e^{-y}+e^{-y}+C=(y+2)e^{-y}+C.$$
故 $f(x,y)=(-x^2+y+2)e^{-y}+C$。代入 $f(0,0)=2$：$2+C=2$，$C=0$。因此
$$f(x,y)=(-x^2+y+2)e^{-y}.$$

求极值： 解 $\{\begin{array}{l}{f}_x=-2x{e}^{-y}=0\\ f_y=e^{-y}(x^2-y-1)=0\end{array}$。由第一式 $x=0$，代入第二式得 $y=-1$，唯一驻点 $(0,-1)$。

二阶偏导：$f_{xx}=-2e^{-y}$，$f_{xy}=2x{e}^{-y}$，$f_{yy}=-(x^2-y)e^{-y}$。在 $(0,-1)$：
$$A=f_{xx}=-2e,B=f_{xy}=0,C=f_{yy}=-e.$$
$AC-B^2=2e^2>0$ 且 $A<0$，故 $(0,-1)$ 为极大值点，极大值 $f(0,-1)=(0+(-1)+2)e^1=e$。