2025 年考研数学（二） 第 18 题

「已知一个含 $f$ 的极限、证可导并求导数」的标准套路：把极限里除 $f$ 之外的部分（这里是 $e^{2\sin x}$ 和分母对数）用泰勒/等价无穷小算清楚，让整个式子塌缩成 $\lim \frac{f(x)-c}{x}$ 的形状。关键的两步近似是分母 $\ln (1-x^2)\sim -x^2$、分子 $e^{2\sin x}=1+2x+2x^2+o(x^2)$。求得 $\lim \frac{f(x)-2}{x}=5$ 后，再用「极限存在 + 分母趋零 $\Rightarrow$ 分子趋零」得 $f(0)=2$，恰好拼成导数定义。

本题考查极限计算与导数定义。 思路：从已知极限出发，凑出 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$。先处理分子的 $e^{2\sin x}$ 与分母。

分母： $\ln (1+x)+\ln (1-x)=\ln (1-x^2)\sim -x^2(x\to 0)$。

分子中的 $e^{2\sin x}$ 用二阶泰勒展开： $(e^{2\sin x}{)}^{\prime }=2\cos x{e}^{2\sin x}$，在 $0$ 处为 $2$；$(e^{2\sin x}{)}^{\prime \prime }{|}_0=4$，故
$$e^{2\sin x}=1+2x+2x^2+o(x^2).$$

代入已知极限：
$$-3=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-(1+2x+2x^2)+1+o(x^2)}{-x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-2x-2x^2+o(x^2)}{-x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{-x}+2.$$

于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{-x}=-5$，即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{x}=5$。

由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{x}=5$ 与 ${\lim }_{x\to 0}x=0$ 得 ${\lim }_{x\to 0}[f(x)-2]=0$，结合 $f$ 在 $0$ 连续，$f(0)={\lim }_{x\to 0}f(x)=2$。因此
$$5=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$$
由导数定义，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime }(0)=5$。