2025 年考研数学（二） 第 20 题

两圆盘之交、被积 $(x-y{)}^2$ 关于 $y=x$ 对称，是「轮换对称性 + 极坐标」的典型信号。先用对称性把积分变成 $2{\iint }_{D_1}$，只需在半个透镜形区域上算；该半区正好被单个圆 $r=4\sin \theta$ 界定，极坐标下 $\theta$ 从 0 到 $\frac{\pi }{4}$、$r$ 从 0 到 $4\sin \theta$ 干净利落。$(x-y{)}^2=r^2(1-\sin 2\theta )$ 再对 $r$ 积出 $r^4/4$，剩下 ${\sin }^4\theta$、${\sin }^5\theta \cos \theta$ 两个标准三角积分。

本题考查二重积分的计算（对称性 + 极坐标）。 区域 $D$ 是两圆盘之交，关于直线 $y=x$ 对称，宜用轮换对称性化简后转极坐标。

定区域： 联立 $x^2+y^2=4x$ 与 $x^2+y^2=4y$，相减得 $x=y$，交点 $(0,0)$ 与 $(2,2)$，故 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称。

用轮换对称性： 记 $D_1$ 为 $D$ 中位于 $y=x$ 下方的部分（在圆 $x^2+y^2=4x$ 内）。由对称性把 $x,y$ 互换知
$${\iint }_D(x-y{)}^{2}dxdy={\iint }_{D_1}(x-y{)}^2+{\iint }_{D\setminus D_1}(x-y{)}^2=2{\iint }_{D_1}(x-y{)}^{2}dxdy.$$

转极坐标： $D_1=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le 4\sin \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\}$（由 $x^2+y^2\le 4y$ 即 $r\le 4\sin \theta$）。而 $(x-y{)}^2=r^2(1-2\sin \theta \cos \theta )=r^2-2r^2\sin \theta \cos \theta$：
$${\iint }_{D_1}(x-y{)}^{2}dxdy={\int }_0^{\pi /4}(1-2\sin \theta \cos \theta )d\theta {\int }_0^{4\sin \theta }{r}^{3}dr=64{\int }_0^{\pi /4}(1-2\sin \theta \cos \theta ){\sin }^4\theta d\theta .$$

拆成两个积分：
$$64{\int }_0^{\pi /4}{\sin }^4\theta d\theta =64{\int }_0^{\pi /4}(\frac{1-\cos 2\theta }{2}{)}^{2}d\theta =6\pi -16,$$
$$128{\int }_0^{\pi /4}{\sin }^5\theta \cos \theta d\theta =128\cdot \frac{{\sin }^6\theta }{6}{|}_0^{\pi /4}=128\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}=\frac{8}{3}.$$

故 ${\iint }_{D_1}(x-y{)}^2=6\pi -16-\frac{8}{3}$，从而
$${\iint }_D(x-y{)}^{2}dxdy=2(6\pi -16-\frac{8}{3})=12\pi -\frac{112}{3}.$$