2022 年考研数学（二） 第 21 题

这是「凹凸性 ⇔ 中点值不超过平均值」的积分刻画。必要性方向的钥匙是「在中点作一阶泰勒」——因为中点使一次项 $\int (x-\frac{a+b}{2})dx$ 天然为 0，余项 $\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )(x-\text{中点}{)}^2$ 的符号完全由 $f^{\prime \prime }$ 决定。充分性反过来不好直接推，改用反证 + 局部保号：一旦某点二阶导为负，连续性保证一小段区间全负，再套同一泰勒积分恒等式就得到与假设相反的严格不等式。$f^{\prime \prime }$ 连续这个条件正是为了「保号取小区间」而给的。

本题综合考查凹凸性、泰勒公式与定积分。 结论的几何含义是：凹函数在区间中点的取值不超过其在该区间上的平均值。分「必要性」与「充分性」两方向证明。

（必要性） 设 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$。不妨设 $b>a$，在区间 $[a,b]$ 上把 $f(x)$ 在中点 $\frac{a+b}{2}$ 处作一阶泰勒展开：
$$f(x)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\xi }_x){\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^2,$$
其中 ${\xi }_x$ 介于 $x$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 之间。

两端在 $[a,b]$ 上积分。注意 ${\int }_a^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right)dx=\frac{x^2}{2}{|}_a^b-\frac{(a+b)(b-a)}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{b^2-a^2}{2}=0$，故一次项积分为 0，于是
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^{\prime \prime }({\xi }_x){\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^{2}dx.$$
因 $f^{\prime \prime }\ge 0$，末项非负，故 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)$，即 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$。

（充分性） 用反证法。设不等式对一切不同的 $a,b$ 成立，但存在 $x_0$ 使 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$。由 $f^{\prime \prime }$ 连续及极限的局部保号性，存在小区间 $[a_0,b_0]\ni x_0$，在其上 $f^{\prime \prime }(x)<0$。

在 $[a_0,b_0]$ 上重复必要性中的做法（对中点作一阶泰勒展开并积分），得
$${\int }_{a_0}^{b_0}f(x)dx=f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)(b_0-a_0)+\frac{1}{2}{\int }_{a_0}^{b_0}{f}^{\prime \prime }({\xi }_x){\left(x-\frac{a_0+b_0}{2}\right)}^{2}dx.$$
此处 $f^{\prime \prime }<0$ 使末项严格为负（被积函数在 $[a_0,b_0]$ 上非正且不恒为 0），故 ${\int }_{a_0}^{b_0}f(x)dx<f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)(b_0-a_0)$，即 $f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)>\frac{1}{b_0-a_0}{\int }_{a_0}^{b_0}f(x)dx$，与前提矛盾。

因此假设不成立，$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上恒非负。综上，$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 的充分必要条件即为：对不同的实数 $a,b$，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$。$■$