2022 年考研数学（二） 第 20 题

这道题把「凑全导数 + 积分反解 + 极值判定」串在一起。第（Ⅰ）问的 $f_1^{\prime }-f_2^{\prime }$ 恰好是已知条件左端的结构，令 $u=x,v=y-x$ 一代即得。第（Ⅱ）问的关键是意识到 $\frac{\partial g}{\partial x}$ 已知就能对 $x$ 积分还原 $g$，积分常数其实是 $y$ 的任意函数 $\phi (y)$，再用边界条件 $f(u,0)$ 把 $\phi$ 钉死；化简时 $(u+v{)}^2-2uv=u^2+v^2$ 让结果异常对称。极值部分是标准 $AC-B^2$ 判别，注意 $(1,1)$ 处 $A=C=0$ 而 $B\ne 0$ 直接判成鞍点。

本题综合考查多元复合函数求偏导与二元函数极值。 第（Ⅰ）问用链式法则；第（Ⅱ）问先由（Ⅰ）积分求出 $f$，再按极值充分条件判定。

（Ⅰ） 记 $g(x,y)=f(x,y-x)$，第一变量为 $x$、第二变量为 $y-x$。由链式法则
$$\frac{\partial g}{\partial x}=f_1^{\prime }(x,y-x)\cdot 1+f_2^{\prime }(x,y-x)\cdot (-1)=f_1^{\prime }(x,y-x)-f_2^{\prime }(x,y-x).$$
在已知等式中令 $u=x,v=y-x$，则 $u-v=2x-y$、$u+v=y$，故
$$f_1^{\prime }(x,y-x)-f_2^{\prime }(x,y-x)=2(2x-y)e^{-y}.$$
因此 $\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=(4x-2y)e^{-y}.$

（Ⅱ）求表达式。 对 $x$ 积分（$y$ 视为参数）：
$$g(x,y)=\int (4x-2y)e^{-y}dx=(2x^2-2xy)e^{-y}+\phi (y)=2x(x-y)e^{-y}+\phi (y),$$
其中 $\phi (y)$ 待定。令 $u=x,v=y-x$（即 $x=u,y=u+v$），得
$$f(u,v)=g(u,u+v)=2u(u-(u+v))e^{-(u+v)}+\phi (u+v)=-2uv{e}^{-(u+v)}+\phi (u+v).$$
代入 $f(u,0)=u^2{e}^{-u}$：左端 $=\phi (u)$，故 $\phi (u)=u^2{e}^{-u}$，即 $\phi (u+v)=(u+v{)}^2{e}^{-(u+v)}$。于是
$$f(u,v)=[(u+v{)}^2-2uv]e^{-(u+v)}=(u^2+v^2)e^{-(u+v)}.$$

求驻点。
$$f_1^{\prime }=(2u-u^2-v^2)e^{-(u+v)},f_2^{\prime }=(2v-u^2-v^2)e^{-(u+v)}.$$
令二者为 0，两式相减得 $u=v$；代入 $2u-2u^2=0$ 得 $u=0$ 或 $u=1$。故驻点为 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。

判定极值。 二阶偏导：
$$f_{11}^{\prime \prime }=(u^2+v^2-4u+2)e^{-(u+v)},f_{12}^{\prime \prime }=(u^2+v^2-2u-2v)e^{-(u+v)},f_{22}^{\prime \prime }=(u^2+v^2-4v+2)e^{-(u+v)}.$$

- 在 $(0,0)$：$A=f_{11}^{\prime \prime }=2,B=f_{12}^{\prime \prime }=0,C=f_{22}^{\prime \prime }=2$，$AC-B^2=4>0$ 且 $A>0$，为极小值点，极小值 $f(0,0)=0$；
- 在 $(1,1)$：$A=0,B=-2e^{-2},C=0$，$AC-B^2=-4e^{-4}<0$，非极值点（鞍点）。

综上，$f(u,v)=(u^2+v^2)e^{-(u+v)}$ 有极小值 $f(0,0)=0$。