2022 年考研数学（二） 第 19 题

被积函数出现 $x^2+y^2$ 在分母、分子是齐次二次式，是极坐标的强烈信号——化简后 $\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}=(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$ 干脆与 $r$ 无关。区域跨第一、二象限，按角度自然拆两块：第一象限是标准四分之一圆盘，第二象限的外边界是直线，其极坐标方程 $r=\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }$ 在积 $r$ 后与被积因子 $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$ 恰好约去，使 $D_2$ 上被积量变成常数 2，积分立成。

本题考查二重积分的极坐标计算。 被积函数 $\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}$ 在极坐标下极简，故采用极坐标。

区域分析： 由 $D$ 的定义知，$D$ 是由直线 $x=y-2$（即 $y=x+2$）、圆 $x^2+y^2=4$ 及 $x$ 轴（$y=0$）围成、位于上半平面的部分。将 $D$ 分为两块：

- $D_1=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le 2,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$（第一象限的四分之一圆盘）；
- $D_2=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le \frac{2}{\sin \theta -\cos \theta },\frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi \}$（第二象限内由直线围成的三角形，直线 $y=x+2$ 的极坐标方程为 $r=\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }$）。

被积函数化简： 令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则
$$\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}=\frac{r^2(\cos \theta -\sin \theta {)}^2}{r^2}=(\cos \theta -\sin \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1-\sin 2\theta .$$
又 $dxdy=rdrd\theta$。

在 $D_1$ 上：
$$I_1={\int }_0^{\pi /2}(1-2\sin \theta \cos \theta )d\theta {\int }_0^{2}rdr=2{\int }_0^{\pi /2}(1-\sin 2\theta )d\theta =2\left(\frac{\pi }{2}-{\sin }^2\theta {|}_0^{\pi /2}\right)=2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\pi -2.$$

在 $D_2$ 上： 注意到 $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-\sin 2\theta$，故
$$I_2={\int }_{\pi /2}^{\pi }(\cos \theta -\sin \theta {)}^{2}d\theta {\int }_0^{\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }}rdr={\int }_{\pi /2}^{\pi }(1-\sin 2\theta )\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}d\theta ={\int }_{\pi /2}^{\pi }2d\theta =2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi .$$

合并： $I=I_1+I_2=(\pi -2)+\pi =2\pi -2.$