2022 年考研数学（二） 第 22 题

第一问是套路：实对称矩阵→求特征值→各特征子空间取正交基→单位化拼 $Q$，标准形系数就是特征值。此题矩阵中间行列解耦（只有 $x_1,x_3$ 交叉），特征值可拆成 $\{4\}$（来自 $x_2$）与 $2\times 2$ 块 $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ 的 $3\pm 1=\{4,2\}$。第二问的实质是「瑞利商 $\frac{x^{\mathrm{T}}Ax}{x^{\mathrm{T}}x}$ 的最小值等于最小特征值」：正交变换把分子分母同时化对角后，比值成为特征值的凸组合，夹在最小、最大特征值之间，故下确界（且能取到）即最小特征值 $2$。这是「用正交变换证明瑞利商界」的标准手法。

本题考查二次型的正交变换标准化，以及瑞利商（二次型与特征值极值的关系）。

（I） 二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 4& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$（$x_1{x}_3$ 系数 $2$，对应非对角元 $a_{13}=a_{31}=1$）。特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& 0& -1\\ 0& \lambda -4& 0\\ -1& 0& \lambda -3\end{array}\right|=(\lambda -4)[(\lambda -3{)}^2-1]=(\lambda -4{)}^2(\lambda -2),$$
故特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=4,{\lambda }_3=2$。

对 $\lambda =4$：$4E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得线性无关特征向量 ${\xi }_1=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$。
对 $\lambda =2$：$2E-A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ 0& -2& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得特征向量 ${\xi }_3=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 两两正交（实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交，${\xi }_1\perp {\xi }_2$ 也成立），只需各自单位化：
$${\epsilon }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\epsilon }_2=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\epsilon }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}.$$
取 $Q=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& 1& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$，则 $Q$ 为正交矩阵，正交变换 $x=Qy$ 把 $f$ 化为标准形 $f=4y_1^2+4y_2^2+2y_3^2$。

（II） 由（I），在 $x=Qy$ 下 $f(x)=4y_1^2+4y_2^2+2y_3^2$。又因 $Q$ 正交（$Q^{\mathrm{T}}Q=E$），
$$x^{\mathrm{T}}x=(Qy{)}^{\mathrm{T}}(Qy)=y^{\mathrm{T}}{Q}^{\mathrm{T}}Qy=y^{\mathrm{T}}y=y_1^2+y_2^2+y_3^2.$$
当 $x\ne 0$（等价于 $y\ne 0$）时，
$$\frac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x}=\frac{4y_1^2+4y_2^2+2y_3^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}\ge \frac{2y_1^2+2y_2^2+2y_3^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=2.$$

取 $y_1=y_2=0,y_3\ne 0$，即 $x=y_3{\epsilon }_3\ne 0$，此时 $\frac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x}=\frac{2y_3^2}{y_3^2}=2$，等号可以取到。因此 $\underset{x\ne 0}{\min }\frac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x}=2$。$■$