2000 年考研数学（二） 第 20 题

秩 1 矩阵 $\mathbf{A}=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$ 的看家本领是 ${\mathbf{A}}^2=({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha })\mathbf{A}$——中间的 ${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$ 是个数 $\mathbf{B}$，于是所有高次幂都塌缩成 $\mathbf{A}$ 的倍数（${\mathbf{A}}^4=8\mathbf{A}$）。把这些代进去，矩阵方程化成普通的 $(8\mathbf{A}-16\mathbf{E})\mathbf{x}=\mathbf{\gamma }$，剩下就是解非齐次线性方程组：一个特解加齐次通解。别被 ${\mathbf{A}}^2,{\mathbf{B}}^4$ 吓到，先降幂再解方程。

本题考查秩 1 矩阵的幂运算与线性方程组求解。 关键恒等式 ${\mathbf{A}}^2=({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha })\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}$ 把高次幂降下来。

$\mathbf{B}={\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2+0\cdot 1=2$（是数）。$\mathbf{A}=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& 0\\ 2& 1& 0\\ 1& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$。由 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{\alpha }({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }){\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{B}\mathbf{A}=2\mathbf{A}$，进而 ${\mathbf{A}}^4=(2\mathbf{A}{)}^2=4{\mathbf{A}}^2=8\mathbf{A}$。又 $\mathbf{B}=2,{\mathbf{B}}^2=4,{\mathbf{B}}^4=16$。

代入原方程：$2\cdot 4\cdot {\mathbf{A}}^2\mathbf{x}={\mathbf{A}}^4\mathbf{x}+16\mathbf{x}+\mathbf{\gamma }$，即 $(8{\mathbf{A}}^2-{\mathbf{A}}^4-16\mathbf{E})\mathbf{x}=\mathbf{\gamma }$。由 $8{\mathbf{A}}^2=16\mathbf{A}$、${\mathbf{A}}^4=8\mathbf{A}$，得系数矩阵 $8{\mathbf{A}}^2-{\mathbf{A}}^4-16\mathbf{E}=8\mathbf{A}-16\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 4& 0\\ 16& -8& 0\\ 8& 4& -16\end{array}\right)$。

解 $(8\mathbf{A}-16\mathbf{E})\mathbf{x}=\mathbf{\gamma }$。对增广矩阵作初等行变换：
$$\left(\begin{array}{cccc}-8& 4& 0& 0\\ 16& -8& 0& 0\\ 8& 4& -16& 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \frac{1}{2}\\ 0& 1& -2& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

得 $x_1=\frac{1}{2}+x_3,x_2=1+2x_3$，$x_3$ 自由。故通解
$$\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ 0\end{array}\right)(k\text{ 为任意常数}).$$