2000 年考研数学（二） 第 21 题

两个条件恰好各定一个未知数。“秩相等”——先算出 $\mathbf{\alpha }$ 组秩为 2，那么 $\mathbf{\beta }$ 组这个三阶方阵也得降秩，即行列式为 0，解出 $a=3b$。“${\mathbf{\beta }}_3$ 可被 $\mathbf{\alpha }$ 表示”——就是非齐次组 $\mathbf{\alpha }\mathbf{y}={\mathbf{\beta }}_3$ 有解，把增广矩阵化到阶梯形，让最后一行的“$0=$常数”那一项为零（相容条件），解出 $b=5$。回代得 $a=15$。看到“秩相等”想行列式/降秩，看到“可表示”想方程组相容，是线代的条件反射。

本题考查向量组的秩与线性表示。 用“秩相等”和“可线性表示”两个条件分别定 $a,b$。

先求 $\mathbf{\alpha }$ 组的秩。对 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 9\\ 2& 0& 6\\ -3& 1& -7\end{array}\right)$ 行化简得 $\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 9\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，秩为 $2$（实际上 ${\mathbf{\alpha }}_3=3{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2$）。

秩相等 $\Rightarrow$ 定 $a$： $\mathbf{\beta }$ 组秩也须为 $2$，故三阶方阵 $\det ({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=0$。将 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 1& 2& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$ 行化简，条件化为 $b-\frac{a}{3}=0$，即 $a=3b$。

可线性表示 $\Rightarrow$ 定 $b$： ${\mathbf{\beta }}_3$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示，等价于方程组 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\mathbf{y}={\mathbf{\beta }}_3$ 有解。对增广矩阵行化简：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 9& b\\ 2& 0& 6& 1\\ -3& 1& -7& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 9& b\\ 0& 1& 2& \frac{2b-1}{6}\\ 0& 0& 0& \frac{5-b}{30}\end{array}\right).$$相容要求 $\frac{5-b}{30}=0$，得 $b=5$。

从而 $a=3b=15$。故 $a=15,b=5$。