1995 年考研数学（二） 第 19 题

看到 $|MP|=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{y^{\prime \prime }}$ 应立刻认出这是曲率半径 $R$，$P$ 就是曲率中心。推导不必背公式：用「$P$ 到 $M$ 距离 $=R$」和「$P$ 在法线上」两个方程联立即可。定符号是关键一步——$y^{\prime \prime }>0$ 曲线下凹（开口向上），曲率中心必在曲线上方，故 $\eta >y_0$，据此在开平方时取对号。

本题考查曲线的切线、法线与曲率（$P$ 恰为曲率中心）。 用两个条件联立：$|MP|$ 的长度、$MP$ 在过 $M$ 的法线上。

条件一（长度）： 由 $|MP{|}^2$ 得
$$(x_0-\xi {)}^2+(y_0-\eta {)}^2=\frac{(1+y_0^{\prime 2}{)}^3}{y_0^{\prime \prime 2}}.(1)$$

条件二（垂直）： $MP\perp MT$，切线斜率为 $y_0^{\prime }$，故法线方向满足 $y_0^{\prime }=-\frac{x_0-\xi }{y_0-\eta }$，即
$$x_0-\xi =-y_0^{\prime }(y_0-\eta ).(2)$$

把 $(2)$ 代入 $(1)$：$y_0^{\prime 2}(y_0-\eta {)}^2+(y_0-\eta {)}^2=\frac{(1+y_0^{\prime 2}{)}^3}{y_0^{\prime \prime 2}}$，即 $(y_0-\eta {)}^2(1+y_0^{\prime 2})=\frac{(1+y_0^{\prime 2}{)}^3}{y_0^{\prime \prime 2}}$，化简得
$$(y_0-\eta {)}^2=\frac{(1+y_0^{\prime 2}{)}^2}{y_0^{\prime \prime 2}}.$$

由于 $y^{\prime \prime }>0$，曲线是凹的，曲率中心 $P$ 在 $M$ 上方，故 $y_0-\eta <0$，取
$$y_0-\eta =-\frac{1+y_0^{\prime 2}}{y_0^{\prime \prime }}\Rightarrow \eta =y_0+\frac{1+y_0^{\prime 2}}{y_0^{\prime \prime }}.$$
再由 $(2)$：$x_0-\xi =-y_0^{\prime }(y_0-\eta )=\frac{y_0^{\prime }(1+y_0^{\prime 2})}{y_0^{\prime \prime }}$，故
$$\xi =x_0-\frac{y_0^{\prime }(1+y_0^{\prime 2})}{y_0^{\prime \prime }}.$$
这正是曲线在 $M$ 处的曲率中心坐标。