1995 年考研数学（二） 第 18 题

两段式题目：已知一个解 → 代回求参数 $p(x)$；再当作标准一阶线性方程用积分因子法求全部解。难点在积分因子里的 $\int (e^{-x}-1)dx=-e^{-x}-x$ 及随后的 $\int e^{-e^{-x}}{e}^{-x}dx$——看到 $e^{-x}$ 既在指数里又作系数，果断令 $u=e^{-x}$。通解自然分成「特解 $e^x$ + 齐次解」，初值只定齐次部分的系数。

本题考查一阶线性微分方程：先由已知解定出 $p(x)$，再用通解公式求满足初值的特解。

把 $y=e^x,y^{\prime }=e^x$ 代入方程 $x{y}^{\prime }+p(x)y=x$：
$$x{e}^x+p(x)e^x=x\Rightarrow p(x)=\frac{x-x{e}^x}{e^x}=x(e^{-x}-1).$$

原方程化为标准形（两端除以 $x$）：
$$y^{\prime }+(e^{-x}-1)y=1.$$
积分因子 $\mu =e^{\int (e^{-x}-1)dx}=e^{-e^{-x}-x}$。由通解公式
$$y=e^{e^{-x}+x}[\int e^{-e^{-x}-x}\cdot 1dx+C].$$

其中 $\int e^{-e^{-x}-x}dx=\int e^{-e^{-x}}{e}^{-x}dx\stackrel{u=e^{-x}}{=}\int e^{-u}(-du)\cdot (-1)\Rightarrow =e^{-e^{-x}}$。于是
$$y=e^{e^{-x}+x}(e^{-e^{-x}}+C)=e^x+C{e}^{e^{-x}+x}.$$

代入 $y(\ln 2)=0$：$e^{\ln 2}+C{e}^{e^{-\ln 2}+\ln 2}=0$，即 $2+C\cdot 2\sqrt{e}=0$，得 $C=-e^{-\frac{1}{2}}$。故满足条件的特解为
$$y=e^x-e^{-\frac{1}{2}}{e}^{e^{-x}+x}=e^x-e^{e^{-x}+x-\frac{1}{2}}.$$