1995 年考研数学（二） 第 17 题

变限积分定义的函数求最值：核心是微积分基本定理把 $f^{\prime }$ 写出来（上限非 $x$ 要乘上限导数）。偶函数性质省一半功夫。驻点 $x=\sqrt{2}$ 给极大值，但「最小值」要小心——不能只看驻点，还得比较端点 $f(0)=0$ 与无穷远极限 $1$；由于函数升到峰值后只降到 $1>0$，真正的最小值在 $x=0$。

本题考查变限积分求导（微积分基本定理）与函数最值。 先由对称性缩小讨论范围，再求驻点、判增减。

$f(x)={\int }_0^{x^2}(2-t)e^{-t}dt$ 中上限 $x^2$ 是偶函数，故 $f(-x)=f(x)$，$f$ 为偶函数，只需在 $[0,+\infty )$ 上研究。由变限积分求导（链式法则）：
$$f^{\prime }(x)=(2-x^2)e^{-x^2}\cdot 2x=2x(2-x^2)e^{-x^2}.$$

在 $(0,+\infty )$ 上令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\sqrt{2}$。当 $0<x<\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，当 $x>\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，故 $x=\sqrt{2}$ 是极大值点。

计算极大值：$M=f(\sqrt{2})={\int }_0^2(2-t)e^{-t}dt=[(t-1)e^{-t}{]}_0^2=e^{-2}-(-1)=1+e^{-2}$。

再看边界与远处：$f(0)=0$；$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)={\int }_0^{+\infty }(2-t)e^{-t}dt=2{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}dt-{\int }_0^{+\infty }t{e}^{-t}dt=2-1=1$。在 $[0,+\infty )$ 上 $f$ 从 $0$ 增到 $1+e^{-2}$ 再减向 $1$，故最小值 $m=f(0)=0$。由偶性，在 $(-\infty ,+\infty )$ 上最大值 $M=1+e^{-2}$（$x=\pm \sqrt{2}$），最小值 $m=0$（$x=0$）。