1995 年考研数学（二） 第 16 题

物理应用题先「翻译成方程」：单位质量 + 阻力正比于速度（且反向）$\Rightarrow \frac{dv}{dt}=-v$，指数衰减 $v=v_0{e}^{-t}$ 是必然形态。速度降到 $\frac{v_0}{3}$ 就解指数方程得 $t=\ln 3$。路程别用匀速公式，要对变速度积分 $\int vdt$，结果 $\frac{2}{3}{v}_0$。

本题考查微分方程的物理应用（牛顿第二定律建立一阶线性方程）。 单位质量质点只受阻力，阻力大小等于速度、方向与运动相反。

设速度为 $v=v(t)$。由 $m\frac{dv}{dt}=F$（$m=1$，$F=-v$）得
$$\frac{dv}{dt}=-v,v(0)=v_0.$$
这是可分离变量（一阶线性齐次）方程，解得 $v(t)=C{e}^{-t}$。由 $v(0)=v_0$ 得 $C=v_0$，故 $v(t)=v_0{e}^{-t}$。

令 $v(t)=\frac{v_0}{3}$，即 $v_0{e}^{-t}=\frac{v_0}{3}$，得 $e^{-t}=\frac{1}{3}$，解出 $t=\ln 3$。

路程为速度对时间的积分：
$$S={\int }_0^{\ln 3}v(t)dt={\int }_0^{\ln 3}{v}_0{e}^{-t}dt=[-v_0{e}^{-t}{]}_0^{\ln 3}=-v_0(\frac{1}{3}-1)=\frac{2}{3}{v}_0.$$