1995 年考研数学（二） 第 20 题

被积函数带 $\frac{\sin t}{\pi -t}$ 这种「积不出来」的核，思路是分部积分把「对 $f$ 积分」转成「$f^{\prime }$ 出场」，因为 $f^{\prime }=\frac{\sin x}{\pi -x}$ 形式已知。妙处在于分部产生的边界项 $\pi f(\pi )$ 与剩余积分能凑出公因子 $\pi -x$ 与分母相消，难看的 $\frac{1}{\pi -x}$ 整体消失，只剩 ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$。

本题考查变限积分与分部积分。 直接积 $f(x)$ 困难（被积函数无初等原函数），改用分部积分把外层积分转化。

由微积分基本定理，$f^{\prime }(x)=\frac{\sin x}{\pi -x}$，且 $f(0)=0$。对 ${\int }_0^{\pi }f(x)dx$ 分部积分（取 $u=f(x),dv=dx$）：
$${\int }_0^{\pi }f(x)dx=[xf(x){]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }x{f}^{\prime }(x)dx=\pi f(\pi )-{\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{\pi -x}dx.$$

注意 $\pi f(\pi )=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{\pi -t}dt={\int }_0^{\pi }\frac{\pi \sin x}{\pi -x}dx$（把哑变量 $t$ 改记为 $x$）。于是
$${\int }_0^{\pi }f(x)dx={\int }_0^{\pi }\frac{\pi \sin x}{\pi -x}dx-{\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{\pi -x}dx={\int }_0^{\pi }\frac{(\pi -x)\sin x}{\pi -x}dx.$$

分母 $\pi -x$ 约去，得
$${\int }_0^{\pi }f(x)dx={\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=1-(-1)=2.$$