1995 年考研数学（二） 第 21 题

「已知二阶导符号，证不等式」是泰勒公式带拉格朗日余项的招牌用法。第一步别忽略：极限 $\frac{f(x)}{x}\to 1$ 同时给出 $f(0)=0$ 与 $f^{\prime }(0)=1$，这正好补齐泰勒展开的前两项。展开后线性部分恰是 $x$，二阶余项因 $f^{\prime \prime }>0$ 天然非负，不等式一步到位。也可用拉格朗日中值定理 + $f^{\prime }$ 单调，但需按 $x$ 正负分类讨论。

本题考查用泰勒公式（带拉格朗日余项）证明不等式，$f^{\prime \prime }>0$ 保证余项非负。

先由极限条件确定 $f(0),f^{\prime }(0)$。 因 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$ 存在且分母趋于 $0$，故分子必趋于 $0$，由 $f$ 连续得 $f(0)=0$；又
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1.$$

再用泰勒公式。 将 $f$ 在 $x=0$ 处一阶展开（带拉格朗日余项），存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2=x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{x}^2.$$

由于 $f^{\prime \prime }(\xi )>0$ 且 $x^2\ge 0$，余项 $\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{x}^2\ge 0$，从而
$$f(x)\ge x.$$
证毕。

另法（拉格朗日中值定理）： 由 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$，$f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x$（$\xi$ 在 $0$ 与 $x$ 之间）。因 $f^{\prime \prime }>0$ 故 $f^{\prime }$ 单调增。当 $x>0$ 时 $\xi >0$，$f^{\prime }(\xi )\ge f^{\prime }(0)=1$，$f^{\prime }(\xi )x\ge x$；当 $x<0$ 时 $\xi <0$，$f^{\prime }(\xi )\le 1$，乘以负数 $x$ 反向仍得 $f^{\prime }(\xi )x\ge x$。故恒有 $f(x)\ge x$。