1994 年考研数学（二） 第 17 题

把 $y=\frac{x^3+4}{x^2}$ 拆成 $x+\frac{4}{x^2}$ 后一切都清爽：$y^{\prime }=1-\frac{8}{x^3}$、$y^{\prime \prime }=\frac{24}{x^4}$。$y^{\prime \prime }$ 恒正说明处处下凸、无拐点；$\frac{4}{x^2}$ 这一项在 $x\to 0$ 爆炸给出铅直渐近线 $x=0$，而 $x\to \infty$ 时 $\frac{4}{x^2}\to 0$ 使曲线贴近直线 $y=x$（斜渐近线）。极小值在驻点 $x=2$ 处取 $3$。作图题的要点是把这些信息（渐近线、极值、凹凸）统一到一张图上。

本题考查函数作图的综合分析：单调性、极值、凹凸、渐近线。 定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$。化简 $y=\frac{x^3+4}{x^2}=x+\frac{4}{x^2}$，便于求导。

（1）增减与极值。 $y^{\prime }=1-\frac{8}{x^3}$。令 $y^{\prime }=0$ 得驻点 $x=2$（$x=0$ 为不可导点）。
- $x<0$：$-\frac{8}{x^3}>0$，$y^{\prime }>0$，单调增；
- $0<x<2$：$\frac{8}{x^3}>1$，$y^{\prime }<0$，单调减；
- $x>2$：$y^{\prime }>0$，单调增。
故增区间为 $(-\infty ,0)$ 与 $(2,+\infty )$，减区间为 $(0,2)$；$x=2$ 为极小值点，极小值 $y(2)=2+\frac{4}{4}=3$。

（2）凹凸与拐点。 $y^{\prime \prime }=\frac{24}{x^4}>0$（$x\ne 0$），故在 $(-\infty ,0)$ 与 $(0,+\infty )$ 上均为凹（下凸，开口向上），无拐点。

（3）渐近线。 铅直：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+4}{x^2}=+\infty$，故 $x=0$ 为铅直渐近线。斜渐近线 $y=ax+b$：
$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3+4}{x^3}=1,b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4}{x^2}=0,$$
故 $y=x$ 为斜渐近线（无水平渐近线）。

（4）作图。 综合以上：曲线有铅直渐近线 $x=0$、斜渐近线 $y=x$；当 $x<0$ 时单调递增且因 $\frac{4}{x^2}>0$ 位于直线 $y=x$ 上方，当 $x\to 0^{-}$ 升向 $+\infty$；当 $x>0$ 时先降后升，在极小点 $(2,3)$ 处取谷底，$x\to 0^{+}$ 升向 $+\infty$、$x\to +\infty$ 沿 $y=x$ 上方趋近。全程下凸。据此描点连线即得图形。