1994 年考研数学（二） 第 18 题

常系数非齐次线性方程，齐次解由 ${\lambda }^2+a^2=0$ 给出 $\cos ax,\sin ax$。核心判断是自由项 $\sin x$（频率 $1$）是否与固有频率 $a$ 共振：$a\ne 1$ 不共振，特解直接设 $A\cos x+B\sin x$；$a=1$ 共振，必须乘 $x$ 设 $x(A\cos x+B\sin x)$，否则待定系数会解不出来。因 $a>0$，只需讨论这两种情形。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程，关键在于判断自由项是否与特征根共振。 齐次方程 $y^{\prime \prime }+a^{2}y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2+a^2=0$，特征根 ${\lambda }_{1,2}=\pm ai$，齐次通解 $Y=C_1\cos ax+C_2\sin ax$。自由项 $\sin x$ 对应频率 $\pm i$，需按是否等于 $\pm ai$ 分类。

情形一：$a\ne 1$（$\pm i$ 不是特征根，不共振）。 设特解 $y^{\ast }=A\cos x+B\sin x$，则 $y^{\ast \prime \prime }=-A\cos x-B\sin x$，代入得
$$(a^2-1)A\cos x+(a^2-1)B\sin x=\sin x\Rightarrow A=0,B=\frac{1}{a^2-1}.$$
故通解
$$y=C_1\cos ax+C_2\sin ax+\frac{1}{a^2-1}\sin x.$$

情形二：$a=1$（$\pm i$ 恰为特征根，共振）。 设特解 $y^{\ast }=x(A\cos x+B\sin x)$，代入 $y^{\prime \prime }+y=\sin x$ 得 $-2A\sin x+2B\cos x=\sin x$，故 $A=-\frac{1}{2},B=0$。此时通解
$$y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{1}{2}x\cos x.$$

综上（$a>0$）：$a\ne 1$ 时 $y=C_1\cos ax+C_2\sin ax+\frac{1}{a^2-1}\sin x$；$a=1$ 时 $y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{1}{2}x\cos x$。