1994 年考研数学（二） 第 19 题

想让两边可比，就把它们化成相同形状。左边用 $x=\lambda t$ 换元恰好得到 $\lambda {\int }_0^{1}f(\lambda x)dx$，与右边 $\lambda {\int }_0^{1}f(x)dx$ 只差被积函数。因 $\lambda <1$ 有 $\lambda x\le x$，$f$ 递减给出逐点不等式 $f(\lambda x)\ge f(x)$，积分保号即证。若换元不熟，也可作差用积分中值定理，转成比较 $f({\xi }_1)$ 与 $f({\xi }_2)$（${\xi }_1\le {\xi }_2$）。

本题考查定积分不等式的证明（换元法 / 积分中值定理）。

方法一（换元）。 对左边作换元 $x=\lambda t$（$dx=\lambda dt$，$x:0\to \lambda$ 对应 $t:0\to 1$）：
$${\int }_0^{\lambda }f(x)dx=\lambda {\int }_0^{1}f(\lambda t)dt=\lambda {\int }_0^{1}f(\lambda x)dx.$$
因 $0<\lambda <1$，当 $x\in (0,1]$ 时 $\lambda x<x$；又 $f$ 递减，故 $f(\lambda x)\ge f(x)$。由积分保号性
$${\int }_0^{\lambda }f(x)dx=\lambda {\int }_0^{1}f(\lambda x)dx\ge \lambda {\int }_0^{1}f(x)dx.$$

方法二（积分中值定理）。 作差并把 ${\int }_0^1={\int }_0^{\lambda }+{\int }_{\lambda }^1$：
$${\int }_0^{\lambda }fdx-\lambda {\int }_0^{1}fdx=(1-\lambda ){\int }_0^{\lambda }fdx-\lambda {\int }_{\lambda }^{1}fdx.$$
由积分中值定理，存在 ${\xi }_1\in [0,\lambda ]$、${\xi }_2\in [\lambda ,1]$ 使 ${\int }_0^{\lambda }fdx=\lambda f({\xi }_1)$、${\int }_{\lambda }^{1}fdx=(1-\lambda )f({\xi }_2)$，于是上式
$$=(1-\lambda )\lambda f({\xi }_1)-\lambda (1-\lambda )f({\xi }_2)=\lambda (1-\lambda )[f({\xi }_1)-f({\xi }_2)].$$

因为 ${\xi }_1\le \lambda \le {\xi }_2$ 且 $f$ 递减，故 $f({\xi }_1)\ge f({\xi }_2)$，又 $\lambda (1-\lambda )>0$，所以上式 $\ge 0$，即 ${\int }_0^{\lambda }f(x)dx\ge \lambda {\int }_0^{1}f(x)dx$。证毕。