1994 年考研数学（二） 第 20 题

先拆绝对值得到两段抛物线，找到与 $x$ 轴的交点 $\pm 2$、图形对称于 $y$ 轴。绕水平线 $y=3$ 转用垫圈法：外圈半径永远是 $3$（$x$ 轴到 $y=3$），内圈半径 $3-y$。巧妙之处在于 $[0,1]$ 段（内径 $1-x^2$）与 $[1,2]$ 段（内径 $x^2-1$）平方后相同，被积函数都是 $8+2x^2-x^4$，于是整段 $[0,2]$ 一次积分、再乘 $2$（对称）得 $\frac{448\pi }{15}$。

本题考查旋转体体积（垫圈法，绕水平线 $y=3$ 旋转）。 先去绝对值分段：
$$y=3-|x^2-1|=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& |x|\le 1,\\ 4-x^2,& |x|\ge 1.\end{array}$$

曲线与 $x$ 轴的交点由 $4-x^2=0$ 得 $x=\pm 2$；在 $[-2,2]$ 上 $y\ge 0$，且函数为偶函数，图形关于 $y$ 轴对称。

绕 $y=3$ 旋转，用垫圈法：外半径为 $x$ 轴到 $y=3$ 的距离 $3$，内半径为曲线到 $y=3$ 的距离 $3-y$。由对称性只算 $[0,2]$ 再乘 $2$：
- 在 $[0,1]$：$y=x^2+2$，内半径 $3-(x^2+2)=1-x^2$，$dV=\pi [3^2-(1-x^2{)}^2]dx=\pi (8+2x^2-x^4)dx$；
- 在 $[1,2]$：$y=4-x^2$，内半径 $3-(4-x^2)=x^2-1$，$dV=\pi [3^2-(x^2-1{)}^2]dx=\pi (8+2x^2-x^4)dx$。
两段被积式恰好相同。

于是
$$V=2{\int }_0^2\pi (8+2x^2-x^4)dx=2\pi {\left[8x+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^2=2\pi \left(16+\frac{16}{3}-\frac{32}{5}\right)=2\pi \cdot \frac{224}{15}=\frac{448\pi }{15}.$$