1990 年考研数学（二） 第 3 题

被积式里有 $\sqrt{1-x}$，最直接的思路就是令这个根式为新变量 $t$，一步去根号并把幂函数积分。换限时注意 $x:0\to 1$ 对应 $t:1\to 0$，负号会被 $dx=-2tdt$ 的负号一起处理，最终得到干净的 $\frac{4}{15}$。也可用凑微分 $d(1-x)$ 分部，两法殊途同归。

本题考查定积分的换元计算。 令 $\sqrt{1-x}=t$ 去掉根号。

设 $\sqrt{1-x}=t(t\ge 0)$，则 $x=1-t^2$，$dx=-2tdt$；当 $x=0$ 时 $t=1$，当 $x=1$ 时 $t=0$。于是
$${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x}dx={\int }_1^0(1-t^2)t(-2t)dt=2{\int }_0^1(t^2-t^4)dt\text{。}$$

$$2{\int }_0^1(t^2-t^4)dt=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=2\cdot \frac{2}{15}=\frac{4}{15}\text{。}$$