1990 年考研数学（二）第 2 题

填空题 · 3 分

设

y = e^{t a n \frac{1}{x}} sin \frac{1}{x}

，则

y^{'} =

___。

提示 1

先认清结构：

y

是

e^{t a n \frac{1}{x}}

与

sin \frac{1}{x}

的乘积，用乘积法则。

提示 2

每一处内层都含

\frac{1}{x}

，其导数为

- \frac{1}{x ^{2}}

，会反复出现。

提示 3

(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}

，

(tan u)^{'} = sec^{2} u u^{'}

，最后提取公因式化简。

答案与详解

答案 $- \frac{1}{x ^{2}} e^{t a n \frac{1}{x}} (sec^{2} \frac{1}{x} sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x})$

思路（为什么这么做）

多重复合又带乘积，稳妥办法是「乘积法则打头，链式法则善后」。本题两个因子求导都会甩出同一个内层因子

- \frac{1}{x ^{2}}

，所以最终必能提出公因式

- \frac{1}{x ^{2}} e^{t a n \frac{1}{x}}

；剩下括号里

sec^{2} \frac{1}{x} sin \frac{1}{x}

来自指数因子求导、

cos \frac{1}{x}

来自正弦因子求导，一一对应不易漏项。

解答

本题考查复合函数与乘积的求导法则。 把

y

看作两因子

e^{t a n \frac{1}{x}}

与

sin \frac{1}{x}

的乘积，逐个求导。

关键的内层导数：

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}

，于是

(e^{t a n \frac{1}{x}})^{'} = e^{t a n \frac{1}{x}} \cdot sec^{2} \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}), (sin \frac{1}{x})^{'} = cos \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) 。

由乘积法则：

y^{'} = (e^{t a n \frac{1}{x}})^{'} sin \frac{1}{x} + e^{t a n \frac{1}{x}} (sin \frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}} e^{t a n \frac{1}{x}} sec^{2} \frac{1}{x} sin \frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}} e^{t a n \frac{1}{x}} cos \frac{1}{x} 。

提取公因式

- \frac{1}{x ^{2}} e^{t a n \frac{1}{x}}

，得

y^{'} = - \frac{1}{x ^{2}} e^{t a n \frac{1}{x}} (sec^{2} \frac{1}{x} sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x}) 。

1990 年考研数学（二） 第 2 题