1990 年考研数学（二） 第 1 题

看到「参数方程 + 某点的法线」，按三步走：先代 $t$ 求切点，再用 $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 求切线斜率，最后取负倒数写法线。本题切线斜率恰为 $-\tan t$，在 $\frac{\pi }{6}$ 处等于 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$，其负倒数 $\sqrt{3}$ 是个「整」斜率，且常数项化简为 $-\frac{9}{8}+\frac{1}{8}=-1$ 很干净，是算对了的信号。

本题考查由参数方程确定的曲线求法线方程。 先由 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 求切线斜率，法线斜率取其负倒数。

求切点：当 $t=\frac{\pi }{6}$ 时，$x={\cos }^3\frac{\pi }{6}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{8}$，$y={\sin }^3\frac{\pi }{6}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$。

求切线斜率：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3{\sin }^{2}t\cos t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}=-\tan t,$$
在 $t=\frac{\pi }{6}$ 处 $\frac{dy}{dx}{|}_{t=\pi /6}=-\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

法线斜率为切线斜率的负倒数 $k=\sqrt{3}$，故法线方程为
$$y-\frac{1}{8}=\sqrt{3}\left(x-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right),$$
化简得 $y=\sqrt{3}x-\frac{9}{8}+\frac{1}{8}=\sqrt{3}x-1$。