2014 年考研数学（一） 第 6 题

判断充分/必要，就把两命题能否互推分别验证。写成 $({\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)M$，其中 $M$ 是列满秩的 $3\times 2$ 矩阵，故原组无关$\Rightarrow$新组无关（必要）。反向失败：取 ${\mathbf{\alpha }}_3=0$，新组恒无关但原组含零向量必相关，故「充分」不成立。

本题考查向量组线性无关性与充要条件。 记命题 $P$：对任意 $k,l$，${\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关；命题 $Q$：${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关。

由 $Q$ 可推 $P$（$P$ 是必要条件）： $({\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ k& l\end{array}\right)$。若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关（列满秩），右端 $3\times 2$ 矩阵两列不成比例、秩为 $2$，故乘积两列线性无关。

$P$ 推不出 $Q$（$P$ 不是充分条件）： 反例，取 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关、${\mathbf{\alpha }}_3=0$，则 ${\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2$ 恒线性无关（$P$ 真），但 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 含零向量必线性相关（$Q$ 假）。

故 $P$ 是 $Q$ 的必要非充分条件，应选 A。