2014 年考研数学（一） 第 5 题

稀疏行列式优先按零元最多的行列展开降阶。本题按第一行展开成两个三阶行列式，每个再按第二行展开。选项 A/B 仅差符号，提示本题的「坑」就在展开的符号因子上——务必带好 $(-1{)}^{i+j}$，最终得到 $(ad-bc)(bc-ad)=-(ad-bc{)}^2$。

本题考查行列式的计算。 按第一行 $(0,a,b,0)$ 展开。

$$D=-a\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& d& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|.$$

两个三阶行列式分别按第二行展开：$\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& d& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|=d(ad-bc)$，$\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|=c(ad-bc)$。

故 $D=-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=(ad-bc)(bc-ad)=-(ad-bc{)}^2$，应选 B。