2014 年考研数学（一） 第 4 题

「使积分取最小值的 $a,b$」本质是二元函数求极值。先把平方展开、逐项积分，靠 $[-\pi ,\pi ]$ 上的奇偶对称消去大量交叉项，$F$ 退化成关于 $a,b$ 的分离二次式，再由 $F_a=F_b=0$ 求驻点。看到对称区间上的三角函数积分，就应条件反射地用奇偶性简化。

本题考查含参定积分的最小值（二元函数极值）。 令 $F(a,b)={\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a\cos x-b\sin x{)}^2\mathrm{d}x$，求其最小值点。

展开后利用奇偶性（${\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^2\mathrm{d}x=\frac{2}{3}{\pi }^3$，${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}x\mathrm{d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\pi$，${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x=2\pi$，含 $x\cos x$、$\sin x\cos x$ 的积分为 $0$）得 $$F(a,b)=\frac{2}{3}{\pi }^3+\pi a^2+\pi b^2-4\pi b.$$

由 $\{\begin{array}{l}{F}_a^{\prime }=2\pi a=0\\ F_b^{\prime }=2\pi b-4\pi =0\end{array}$ 得驻点 $a=0,b=2$。又 $A=F_{aa}^{\prime \prime }=2\pi >0$，$B=F_{ab}^{\prime \prime }=0$，$C=F_{bb}^{\prime \prime }=2\pi$，$AC-B^2=4{\pi }^2>0$，故 $(0,2)$ 为极小值点即最小值点。

于是 $a_1=0,b_1=2$，$a_1\cos x+b_1\sin x=2\sin x$，应选 A。