2014 年考研数学（一） 第 3 题

二重积分换序/换系题，第一步是画积分区域。由不等式看出 $D$ 是第二象限四分之一圆盘并上第一象限三角形。C 与 D 差别只在被积表达式有没有那个因子 $r$——这正是极坐标面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 的关键，记牢它就能在 C、D 间定夺。

本题考查二重积分的积分区域与直角坐标化极坐标。 先由不等式画出区域。

由 $0\le y\le 1$、$-\sqrt{1-y^2}\le x\le 1-y$ 知，区域 $D$ 是第二象限四分之一单位圆盘 $\{x\le 0,y\ge 0,x^2+y^2\le 1\}$ 与三角形 $\{x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$ 的并。

化极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。当 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 时外边界为直线 $x+y=1$，即 $r=\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$；当 $\frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi$ 时外边界为单位圆 $r=1$。

故原式 $={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$。注意极坐标下含因子 $r$，应选 D。