2014 年考研数学（一） 第 2 题

$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$ 是连接两端点的弦，题目实质是「曲线与弦谁高谁低」。曲线在弦上方还是下方由凹凸性决定，故正确条件必是 $f^{\prime \prime }$，先排除只给 $f^{\prime }$ 的 A、B。再令 $\phi =f-g$，则 ${\phi }^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }$ 且 $\phi (0)=\phi (1)=0$；下凸函数两端取零则中间非正，得 $f\le g$。

本题考查利用凹凸性比较函数与弦的大小。 注意 $g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$ 恰是连接点 $A(0,f(0))$ 与 $B(1,f(1))$ 的直线（弦）。

令 $\phi (x)=f(x)-g(x)$，则 ${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$。当 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 时 ${\phi }^{\prime \prime }(x)\ge 0$，$y=\phi (x)$ 为凹（下凸）函数。

又 $\phi (0)=0$，$\phi (1)=0$，而下凸函数在两端点取零，则区间内部 $\phi (x)\le 0$，即 $f(x)\le g(x)$（曲线在弦下方）。

综上，应选 D。