2014 年考研数学（一） 第 1 题

看到「哪条曲线有渐近线」，就按铅直、水平、斜三类逐类排查。这些函数处处连续、无铅直渐近线，含 $x^2$ 的选项 $\frac{y}{x}\to \infty$ 直接出局。真正的分辨点在余项极限：$x\to \infty$ 时 $\sin x$ 振荡不收敛，而 $\sin \frac{1}{x}\to 0$，这就把两个含一次项的选项区分开。

本题考查曲线渐近线的判定。 $\sin x$、$\sin \frac{1}{x}$ 均有界，含 $x^2$ 的项使 $\frac{y}{x}\to \infty$，故关键看能否凑出斜渐近线 $y=kx+b$。

对 (C) $y=x+\sin \frac{1}{x}$：$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x})=1,b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin \frac{1}{x}=0,$$ 故曲线有斜渐近线 $y=x$。

对 (A) $y=x+\sin x$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x$ 不存在，无斜渐近线；(B)(D) 含 $x^2$，$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\infty$，无斜渐近线，也无水平、铅直渐近线。

综上，应选 C。