2010 年考研数学（一） 第 2 题

关键信号是 $F$ 的两个自变量都形如“$\cdot /x$”，这提示 $z$ 关于 $(x,y)$ 是一次齐次函数，而 $x{z}_x+y{z}_y$ 正是欧拉定理的左端。若不用定理，就老老实实对 $x$、$y$ 各求一次隐函数偏导，代入后含 $F_1^{\prime }$ 的项会自动抵消，化简即得所求。

本题考查多元隐函数（复合函数）求偏导。 对方程两边分别关于 $x$、$y$ 求偏导即可。

对 $x$ 求偏导：$F_1^{\prime }\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)+F_2^{\prime }\cdot \frac{x\frac{\partial z}{\partial x}-z}{x^2}=0$，解得
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x{F}_2^{\prime }}\left(y{F}_1^{\prime }+z{F}_2^{\prime }\right).$$

对 $y$ 求偏导：$F_1^{\prime }\cdot \frac{1}{x}+F_2^{\prime }\cdot \frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial y}=0$，解得
$$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_1^{\prime }}{F_2^{\prime }}.$$

于是
$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{F_2^{\prime }}(y{F}_1^{\prime }+z{F}_2^{\prime })-\frac{y{F}_1^{\prime }}{F_2^{\prime }}=z.$$
故应选 B。