2010 年考研数学（一） 第 1 题

看到“底 $\to 1$、幂 $\to \infty$”就应立刻判定为 $1^{\infty }$ 型未定式，这类题的固定思路是把底数拆成 $1+\alpha$，极限化为 $\exp \{\lim (\text{幂}\cdot \alpha )\}$。本题 $\alpha =\frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)}$ 是无穷小，乘以 $x$ 后只有最高次项起作用，所以只需盯住分子分母的最高次系数比。

本题为 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限。 关键是把底数写成 $1+\alpha$ 的形式，再用 $\lim (1+\alpha {)}^{1/\alpha }=\mathrm{e}$。

由于 $(x-a)(x+b)=x^2+(b-a)x-ab$，故
$$\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}=1+\frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)}.$$

于是
$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]}^x=\exp \left\{\underset{x\to \infty }{\lim }x\cdot \frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)}\right\}={\mathrm{e}}^{a-b},$$
因为 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x[(a-b)x+ab]}{(x-a)(x+b)}=a-b$。故应选 C。