2005 年考研数学（一） 第 23 题

$Y_i=X_i-\bar{X}$ 是 $X$ 的线性组合，方差与协方差都靠「双线性 + 独立性」硬展开。核心小结论是 $\mathrm{Cov}(X_i,\bar{X})=\frac{1}{n}$（$\bar{X}$ 含 $\frac{1}{n}{X}_i$）。把它代入展开式，各项一算即得 $D(Y_i)$ 与 $\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)$。

因 $X_i\sim N(0,1)$ 相互独立，故 $E(X_i)=0$，$D(X_i)=1$，且 $E(\bar{X})=0$，$D(\bar{X})=\frac{1}{n}$。

（I） 把 $Y_i$ 写成 $Y_i=X_i-\bar{X}=\left(1-\frac{1}{n}\right)X_i-\frac{1}{n}{\sum }_{j\ne i}{X}_j$，由独立性
$$D(Y_i)={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^2\cdot 1+\frac{1}{n^2}\cdot (n-1)=\frac{(n-1{)}^2}{n^2}+\frac{n-1}{n^2}=\frac{n-1}{n}(i=1,2,\cdots ,n).$$

（II） 利用协方差的双线性性及 $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0(i\ne j)$、$\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=1$：
$$\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)=\mathrm{Cov}(X_1-\bar{X},X_n-\bar{X})=\mathrm{Cov}(X_1,X_n)-\mathrm{Cov}(X_1,\bar{X})-\mathrm{Cov}(X_n,\bar{X})+D(\bar{X}).$$

其中 $\mathrm{Cov}(X_1,X_n)=0$（$n>2$），$\mathrm{Cov}(X_1,\bar{X})=\frac{1}{n}\mathrm{Cov}(X_1,X_1)=\frac{1}{n}$，同理 $\mathrm{Cov}(X_n,\bar{X})=\frac{1}{n}$，$D(\bar{X})=\frac{1}{n}$。

故 $\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)=0-\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=-\frac{1}{n}$。