2005 年考研数学（一） 第 22 题

边缘密度的本质是「沿另一变量把联合密度积掉」，难点全在支撑区域 $0<y<2x,0<x<1$ 的积分限，画个图就清楚。求 $Z=2X-Y$ 的分布用分布函数法最稳：先确定 $2X-Y$ 只在 $(0,2)$ 取值，分段算 $P\{2X-Y\le z\}$，再求导得密度。

（I） 由 $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$：当 $0<x<1$ 时 $f_X(x)={\int }_0^{2x}1dy=2x$，其余为 $0$，即
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由 $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$：当 $0<y<2$ 时 $f_Y(y)={\int }_{y/2}^{1}1dx=1-\frac{y}{2}$，其余为 $0$，即
$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{y}{2},& 0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（II） 用分布函数法，$F_Z(z)=P\{2X-Y\le z\}={\iint }_{2x-y\le z}f(x,y)dxdy$。在支撑集上 $2x-y\in (0,2)$，故当 $z<0$ 时 $F_Z(z)=0$，当 $z\ge 2$ 时 $F_Z(z)=1$。

当 $0\le z<2$ 时，$F_Z(z)=1-{\int }_{z/2}^{1}dx{\int }_0^{2x-z}dy=1-{\int }_{z/2}^1(2x-z)dx=1-\left(1-z+\frac{z^2}{4}\right)=z-\frac{z^2}{4}$。

求导得 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{z}{2},& 0<z<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$