1995 年考研数学（一） 第 8 题

看到 $|\sin x|$ 这种带绝对值、在 $0$ 处有尖点的因子，立即想到用左、右导数分别讨论。分别算出 $F_{-}^{\prime }(0)$ 与 $F_{+}^{\prime }(0)$，可导当且仅当两者相等，这个等式会直接逼出对 $f(0)$ 的要求，从而判断充分性与必要性。

分析：$|\sin x|$ 在 $x=0$ 处不可导，需分别求 $F(x)$ 在 $0$ 处的左、右导数，令二者相等得到条件。

在 $x=0$ 附近，$x<0$ 时 $|\sin x|=-\sin x$，$x>0$ 时 $|\sin x|=\sin x$。左导数
$$F_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)(1-\sin x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left[\frac{f(x)-f(0)}{x}-f(x)\cdot \frac{\sin x}{x}\right]=f^{\prime }(0)-f(0);$$

右导数
$$F_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)(1+\sin x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)+f(0).$$

$F(x)$ 在 $x=0$ 处可导 $⟺F_{-}^{\prime }(0)=F_{+}^{\prime }(0)⟺f^{\prime }(0)-f(0)=f^{\prime }(0)+f(0)⟺f(0)=0$。故 $f(0)=0$ 是充分必要条件，选 A。