1995 年考研数学（一） 第 9 题

关键是把两个级数分门别类：带 $(-1{)}^n$ 的用莱布尼茨判别法（通项绝对值单调趋零即收敛）；平方后符号消失成正项级数，则用等价无穷小 $\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim \frac{1}{\sqrt{n}}$，其平方 $\sim \frac{1}{n}$ 恰是发散的调和级数。判据不同，结论也就一敛一散。

分析：$\sum u_n$ 是交错级数，用莱布尼茨判别法；$\sum u_n^2$ 是正项级数，用等价无穷小与 $p$-级数比较。

对 $\sum u_n$：$\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 单调递减且趋于 $0$，由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum (-1{)}^n\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。

对 $\sum u_n^2$：$u_n^2={\ln }^2\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim {\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^2=\frac{1}{n}(n\to \infty )$，而 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，故 $\sum u_n^2$ 发散。

综上，$\sum u_n$ 收敛而 $\sum u_n^2$ 发散，选 C。