1990 年考研数学（一） 第 23 题

二维均匀分布的一切都从『联合密度 $=1/$面积』出发，本题面积为 $1$ 故密度为 $1$。求 $X$ 的边缘密度就是把 $y$ 从 $-x$ 积到 $x$，得 $2x$。最后 $Z=2X+1$ 是线性变换，常数不影响方差、系数要平方，即 $D(Z)=4D(X)$，只需用边缘密度算出 $E(X),E(X^2)$ 即可。

分析：先由 $D$ 的面积定出均匀分布的联合密度，积分得 $X$ 的边缘密度，再由 $E(X),E(X^2)$ 求 $D(X)$，最后 $D(Z)=4D(X)$。

$D$ 的面积 $S={\int }_0^{1}2xdx=1$，故联合概率密度
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& (x,y)\in D,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

边缘密度：$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$。当 $0<x<1$ 时 $f_X(x)={\int }_{-x}^{x}1dy=2x$；当 $x⩽0$ 或 $x⩾1$ 时为 $0$。故
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

方差：$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx=\frac{2}{3}$，$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2xdx=\frac{1}{2}$，故 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{1}{2}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$。

于是
$$D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.$$