1988 年考研数学（一） 第 22 题

$Y=g(X)$ 型分布问题，分布函数法最稳妥。因 $t\mapsto 1-\sqrt[3]{t}$ 处处单调，$Y⩽y$ 可等价翻译成 $X⩾(1-y{)}^3$；写出 $F_Y$ 后对 $y$ 求导，链式法则带出因子 $3(1-y{)}^2$。单调性使 $X$ 与 $Y$ 一一对应，因此无需讨论反函数分支。

分析：用分布函数法。先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=P\{Y⩽y\}$，再对 $y$ 求导得密度。

由 $Y=1-\sqrt[3]{X}$，$Y⩽y⟺\sqrt[3]{X}⩾1-y⟺X⩾(1-y{)}^3$（因立方为单调增函数），故
$$F_Y(y)=P\{X⩾(1-y{)}^3\}=1-P\{X⩽(1-y{)}^3\}=1-{\int }_{-\infty }^{(1-y{)}^3}\frac{1}{\pi (1+x^2)}dx.$$

对 $y$ 求导（注意 $\frac{d}{dy}(1-y{)}^3=-3(1-y{)}^2$）：
$$f_Y(y)=-f_X\left((1-y{)}^3\right)\cdot \left[-3(1-y{)}^2\right]=3(1-y{)}^2\cdot \frac{1}{\pi \left[1+(1-y{)}^6\right]}.$$

即 $f_Y(y)=\frac{3(1-y{)}^2}{\pi \left[1+(1-y{)}^6\right]}(-\infty <y<+\infty )$。