1988 年考研数学（一） 第 20 题

「区间内随机取数 + 求概率」是二维几何概型的标志：样本空间是单位正方形，概率 = 有利面积 $÷$ 总面积（总面积为 $1$）。事件 $x+y<\frac{6}{5}$ 占正方形一大半，正面算是五边形；转而算其补集——角上的小直角三角形，两直角边各 $\frac{4}{5}$，面积一步到位。

分析：设两数为 $X,Y$，$(X,Y)$ 在单位正方形 $D=\{(x,y)\mid 0<x<1,0<y<1\}$ 上服从均匀分布，所求概率为面积之比（几何概型）。

所求概率等于区域 $\left\{x+y<\frac{6}{5}\right\}\cap D$ 的面积。用补集计算：$\left\{x+y>\frac{6}{5}\right\}\cap D$ 是以 $\left(1,\frac{1}{5}\right),\left(\frac{1}{5},1\right),(1,1)$ 为顶点的直角三角形，两直角边长均为 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，其面积为 $\frac{1}{2}{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{8}{25}$。

故 $P\left\{X+Y<\frac{6}{5}\right\}=1-\frac{8}{25}=\frac{17}{25}$。