离散型
第一步：把分布律写成含 x 的一个式子（两点分布要合并成指数形式）。
第二步：连乘得 L(θ)，把同底的指数相加。
第三步：取对数，与参数无关的项并成常数。
第四步：求导令零，解出 θ^，最后把 xi 换回 Xi。例例. 总体服从两点分布 P(X=1)=p、P(X=0)=1−p，求 p 的最大似然估计。
第一步，把分布律写成一个式子：
P(X=x)=px(1−p)1−x,x=0,1.
（x=1 代入得 p，x=0 得 1−p ✓ 不合并成这样，后面没法连乘。）
第二步，连乘，同底指数相加：L(p)=p∑xi(1−p)n−∑xi。
第三步，取对数：
lnL=(∑xi)lnp+(n−∑xi)ln(1−p).
第四步，求导令零得 p^=n∑xi=xˉ，最后把 xi 换回大写：p^=Xˉ。
连续型
第一步：写出密度，连同定义域。
第二步：连乘得 L(θ)；若定义域含参数，把约束单独写成一行。
第三步：定义域不含参数 ⇒ 取对数求导。
第四步：定义域含参数 ⇒ 看 L 的单调性，在端点取最值。例例. 两种情形：① X∼E(λ)；② X∼U(0,θ)。
第一步，写密度连同定义域。
第二步，① L(λ)=λne−λ∑xi（xi>0），定义域不含参数；
② L(θ)=θn1，约束单独写一行：所有 0≤xi≤θ，即 θ≥maxxi——定义域含参数。
第三步，① 取对数求导：lnL=nlnλ−λ∑xi，令导数为零得 λ^=xˉ1。
第四步，② 不能求导——L(θ)=θ−n 关于 θ 单调递减，θ 越小越好；而约束要求 θ≥maxxi，于是在端点取到最大：
θ^=max{X1,…,Xn}.
对 ② 硬求导会得到「导数恒不为零、无解」——那是在提醒你回第二步看约束。
两个参数
第一步：写 lnL(μ,σ2)。
第二步：分别对两个参数求偏导。
第三步：令两个偏导为零，联立求解（通常先解出 μ^ 再代入）。
第四步：正态的结果记住：μ^=Xˉ，σ^2 分母为 n。例例. 设 X∼N(μ,σ2)，两个参数都未知，求最大似然估计。
第一步，
lnL=−2nln(2π)−2nlnσ2−2σ21∑(xi−μ)2.
第二步，分别对两个参数求偏导（把 σ2 整体当成一个参数，比对 σ 求导干净得多）：
∂μ∂lnL=σ21∑(xi−μ),∂σ2∂lnL=−2σ2n+2σ4∑(xi−μ)2.
第三步，令两者为零：第一式给 μ^=xˉ，代入第二式解出
σ^2=n1∑(xi−xˉ)2.
第四步，记住这个结果：μ^=Xˉ，σ^2 的分母是 n（和矩估计一样，也是有偏的）。